La topologie est une branche des mathématiques qui a fait son apparition officielle au 19e siècle. Ce sous-groupe de la géométrie étudie les transformations continues, comme l’étirement et la compression. Par exemple, en topologie une sphère est considérée comme étant la même forme qu’un cube, et une tasse à café est considérée identique à un beigne. Dans ces deux cas, il est possible de passer d’une forme à l’autre par homéomorphisme, sans avoir à déchirer ou coller les surfaces.
Comparaison avec la géométrie euclidienne
En géométrie euclidienne, une forme est définie par ses points et ses surfaces dans un espace en trois dimensions. En topologie, une forme est définie par les limites de ses surfaces et de leur connectivité. La sphère et le cube sont équivalents d’un point de vue topologique, car les deux formes possèdent une seule surface continue (sans trou), et limitent l’espace en deux groupes distincts, soit les points à l’intérieur de leur surface et les points à l’extérieur. Comparativement aux trois dimensions nécessaires à leur description dans un espace euclidien, ces deux formes possèdent une seule dimension dans un espace topologique.
Autre exemple, une carte de métro. Dans ce type de cartes, ni la distance entre deux stations, ni leur orientation respective ne sont indiquées, car ces notions ne sont pas importantes pour l’utilisateur. Ce qui importe est la connectivité. Est-ce possible de se déplacer en utilisant une seule ligne de métro, ou dois-on changer de ligne éventuellement? La topologie est donc une représentation plus utile de ce problème que la géométrie classique.
Le chercheur américain John Milnor, récompensé par le prix Abel 2011, a ouvert un nouveau chapitre des mathématiques: la topologie différentielle en grande dimension.
